大問１
小問集合の部分なのでしっかり全問取りたいですね。特に問１などは落とさないように日々計算練習をしっかりしていきましょう！
【解説】
(1) $$ 9-(-5)=9+5=14 $$
(2) $$ (-3)^{2}\div \frac{1}{6} = 9 \times 6 = 54$$
(3) $$ \sqrt{2} \times \sqrt{14} = \sqrt{2 \times 14} = \sqrt{28} = \sqrt{2^{2} \times 7} = 2\sqrt{7}$$
ポイント：マイナスの計算・分数の計算やルート計算を丁寧に計算しよう！
【解説】 赤線で引いたところがAさんが教室清掃になるとき、すなわち偶数の時なので１～９のうち、偶数は２,４,６,８の４つ。よって $$ \frac{4}{9} $$
場合の数を丁寧に数えよう！
【解説①】まず \(y=ax+b \) とおく。すると表から \begin{equation} \left\{ \, \begin{aligned} 6 & = -a+b \\ 2 & = 3a+b \end{aligned} \right. \end{equation} を得るので、上の式から下の式を引くと$$ 4 = -4a $$ を得るので \(a=1\) となる。これから\(b=5\)となるので、 $$ y=x+5 $$ を得る。この式に \(x=0\) を代入すると \(y=5\) となる。
【解説②】\( x \) は \(-1\) から \(3\) に \(4\) 増えているのに対して、\( y \) は \(6\) から \(2\) へと \(4\) 減っている。よって\(x\) が \(1\) 増えるのに対して \(y\) は \(1\) 減ることが分かる。よって \(6-1=5\) となる。
ポイント：一次関数なら \( y = ax + b \) とおける！
【解説】高さを \( h \) とおくと, 体積は以下のように求められる。 $$ 6 \times 6 \times \pi \times h \times \frac{1}{3} = 132\pi $$ この式を計算すると \(12h = 132 \) を得るので \( h = 11 \) となる。
ポイント：三角錐の体積は \( 半径 × 半径 × \pi × 高さ × \frac{1}{3}\)
【解説】解と係数の関係から, \begin{equation} \left\{ \, \begin{aligned} a+b & = □ \\ ab & = 14 \end{aligned} \right. \end{equation} を得る。\( a \) と \( b \) は共に自然数であり、\( 14 \) を因数分解すると \begin{equation} \left\{ \, \begin{aligned} 14 & = 1 \times 14 \\ & = 2 \times 7 \end{aligned} \right. \end{equation} なので \( 2 + 7 = 9 \), \( 1 + 14 = 15 \)が答えとなる。
ポイント：解と係数の関係を使おう！
完成図
そうすると今回の問題文の角\( PBC \)が \(15 \) 度というのは角\( ABC \)の半分であることがわかります。角の半分を作図する…そう！角の二等分線を描くことになります。それが以下の図です。
次に角 \( PCB \)も\( 15\)度になるように描きますが、角の五等分線などは習っていません。注目すべきは△\( PBC \) が二等辺三角形になることです。二等辺三角形の性質として、等しい長さの辺の交点（頂点）から垂線をおろすと丁度、辺を二等分するというものがあります。勘の良い方なら気づいたかもしれませんが、垂直二等分線を描くことになります。以下が再び完成図です。
ポイント：角の二等分線、垂直二等分線
大問２
ここも冷静に全問取りたいですね。因数分解も間違えないようにしよう！
【解答】ア＝ \( 1 \), イ＝ \( 2 \), ウ＝ \( 2 \), エ＝ \( 4 \) オ＝ \( 9 \)
【解説】端など考えると問題は解きやすい。よって一番左上を考えると上記の答えになる。他にも解答として
ア＝ \( 8 \), イ＝ \( 9 \), ウ＝ \( 16 \), エ＝ \( 18 \) オ＝ \( 51 \)
ア＝ \( 8 \), イ＝ \( 16 \), ウ＝ \( 9 \), エ＝ \( 18 \) オ＝ \( 51 \)
ア＝ \( 64 \), イ＝ \( 72 \), ウ＝ \( 72 \), エ＝ \( 81 \) オ＝ \( 289 \)
等がある。
ポイント：因数分解を丁寧に！
【解答】ア＝ \( m(n+1) \), イ＝ \( (m+1)n \), ウ＝ \( (m+1)(n+1) \), エ＝ \( m \), オ＝ \( m+1 \),
カ＝ \( n \), キ＝ \( n+1 \)
【解説】表を描いて処理すると解きやすい。\( m \), \( n \)を表に合わせて入れていくと以下のようになる。
するとア＝ \( m(n+1) \), イ＝ \( (m+1)n \), ウ＝ \( (m+1)(n+1) \) となる。次にエ～キについてですが、最後の一文に「（かけられる数の和）×（かける数の和）」とあるので、上の表からエ＝ \( m \), オ＝ \( m+1 \), カ＝ \( n \), キ＝ \( n+1 \) となる。
ポイント：図を描いて丁寧に処理しよう！
【解答】\( x = 4\), \( y = 5\)
【解説】問２と同様なので（かけられる数）、（かける数）の表を埋めると以下のようになる。
また問題文から結果として問２と同様に
\( p+q+r+s+t+u= \)（かけられる数）×（かける数）
となるので \( {x+(x+1)}{y+(y+1)+(y+2)} = 162 \) を得る。よって
$$(2x+1)(3y+3)=162$$
すなわち
$$(2x+1)(y+1)=54$$
となる（\( y \) の方を\( 3 \) でくくり外に出し両辺を \( 3 \) で割った）。
\( 54 \) を因数分解すると
\begin{equation}
\begin{aligned}
54 & = 1 \times 54 \\
& = 2 \times 27 \\
& = 3 \times 18 \\
& = 6 \times 9
\end{aligned}
\end{equation}
であり、\( 2x+1 \)は\( 3 \)以上の奇数なので,
① \( 2x+1 = 3\)のとき
\( x = 1\) で \( y+1 = 27\) より \( y = 26\) となるが、今は九九の表なので\( y = 26\) はありえない。
② \( 2x+1 = 9\)のとき
\( x = 4\) で \( y+1 = 6\) より \( y = 5\) となり、これはOK。
③ \( 2x+1 = 27\)のとき
\( x = 13\) で \( y+1 = 2\) より \( y = 1\) となるが、今は九九の表なので\( x = 13\) はありえない。
以上から\( x = 4\), \( y = 5\) が解答となる。
大問３
【解答】\( 4 \)
【解説】点Aの \( y \) 座標が \( 8 \) で, 点Aは \( y = 2x^{2} \) を通るので、点Aの \( x \) 座標は
$$ 8 = 2x^{2} → x^2 = 4 → x = -2,2 $$
ポイント：y軸対称なら他方のx座標は-1倍
【解答】\( \frac{1}{4} \)
【解説】\( y=ax^2 \) において、\( x \) の値が \( 1 \) から \( 3 \) まで増加するときの変化の割合は以下のようになる。
$$ \frac{9a-a}{3-1} = \frac{8a}{2} = 4a $$
一方で\( y = x + 2 \) の変化の割合は \( 1 \) なので \( 4a = 1 \) より \( \frac{1}{4} \) となる。
ポイント：変化の割合 ＝ \( x \) の係数
【解答】\( Q(-t,-3) \)
【解説】まず問題文を図にしてみましょう。
では解説に入ります。直線 \( PQ \) は原点を通るので \( y=ux \) とおける。ただし \( u \neq 0 \) である。このとき直線PQは点 \( P(t,3) \) を通るので点 \( P(t,3) \) の座標を代入して $$ 3 = ut → u = \frac{3}{t}$$ から、 \( y = \frac{3}{t}x \) を得る。これが点 \( Q \) を通り、点 \( Q \) の \( y \) 座標は \( -3 \) なので $$ -3 = \frac{3}{t}x → x = -t$$ となる。よって求める点 \( Q \) の座標は \( Q(-t,-3) \) となる。
ポイント：原点を通る直線 ＝ \( y=ax \) とおける！
【解答＆解説】まず図を描いてみましょう！
台形ABCDの面積は $$ ( 6 + 2 ) × 6 × \frac{1}{2} = 24㎠$$ なので台形APCQの面積が12㎠になることを示す。APの長さは \( 3-t \) , CQの長さは \( 1+t \) となるので $$ \{(3-t) + (1+t) \}× 6 × \frac{1}{2} = 12㎠$$ を得る。故にtの値に依らず直線PQが台形ABCDの面積を２等分する。
ポイント：台形の面積
大問４
【解答】\( 110° \)
【解説】まず問題文の条件を図に書き込みましょう！
角 \( BAD \) を●とすると、直線ADは角の二等分線なので、角 \( DAC \) も●となる。一方でAD＝DCから角 \( DCA \) も●となる。よって
角ADC = 180 – ●×2 = 180 – 35×2 = 110°
を得る。
ポイント：角の二等分線
【解答】ア＝弧AC イ＝円周角 ウ＝２組の角がそれぞれ等しい
【解説】直線BDの延長と円周の交点であるCと直線EDの延長と円周の交点であるAを見つけられればOK。また相似条件も忘れずに。
ポイント：相似条件
(1)より△ABC∽△AECなので△AECは二等分線三角形となり、
$$ AE=AC … ① $$
また角BAE=角DAC…②
一方で弧ABに対する円周角は等しいから
角AEB=角ACB…③
①～③より１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
$$ △ABE≡△ADC $$
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